摘要

设D与I分别为边长为1的阿基米德铺砌(3.6.3.6)与(34.6),相应的顶点集分别记为D与I,其中的顶点分别称作D-点与I-点.本文主要运用数的几何中研究格点性质的相关理论和方法来探究D-点及I-点的一些相关性质.论文第一章与第二章,分别在铺砌D与I中讨论了平面内任意给定直线上的顶点数及其分布,证明了所有直线按其所含顶点数可以恰好分为0、1与∞这3类,同时给出刻画各类直线的充要条件;进而,探究了任意给定的θ ∈[0,π)方向上内部不含顶点的路径的最大宽度.论文第三章将数的几何中的两大基本定理——Blichfedlt定理与Minkowski定理推广到铺砌D与I中.首先,将一般格的Blichfedlt定理推广到由一般格去掉关于一个子格的一个剩余类所得的点集中;进而,得到了关于D-点及I-点的Blichfedlt-型定理;最后,利用所得的Blichfedlt-型定理给出了关于D-点及I-点的最优的Minkowski-型定理.